Speaker: 吴天博士，中科大

Inviter: 邱国寰

Title: 不变张量技术在四阶半线性方程解的分类中的应用

Language: Chinese

Time & Venue: 2025.09.04 10:00-11:00 思源楼S817

Abstract: Sobolev不等式、Onofri不等式的极值函数与最佳常数是非线性分析、共形几何中广为关注的问题，通过变分法，该问题可以约化为一类拟线性或者半线性椭圆型方程解的分类问题。由于一般流形上的非对称性，微分恒等式是研究解的分类问题的有效手段，然而如何建立微分恒等式是核心挑战。我们发展了不变张量技术，通过确定具有微分不变性的不变张量，结合量纲分析得到需要的微分恒等式，进而得到方程解的分类结果。报告从实流形上一般的二阶半线性方程出发，介绍该模型不变张量的规律，引入不变张量技术的思想。我们改进了Gursky-Malchiodi的二阶导数估计，结合不变张量技术得到的微分恒等式，导出了带有Ricci曲率正下界的四维闭流形上一类Liouville型方程解的分类以及流形的刚性。该结果结合Beckner得到的球面上的Onofri不等式，导出了四维球面上一类具有最佳常数的二阶Onofri型不等式，并证明了其刚性。使用该类恒等式，我们还得到了完备非紧带有非负Ricci曲率的流形上，四阶次临界指标方程解的Liouville定理，这个证明过程中简化了Fazly-Wei-Xu的二阶导数估计。报告相关工作可以参考arXiv: 2508.14494， arXiv: 2508.14497。这一系列工作是和麻希南、吴汪哲、周晓合作完成的。