Speaker: 向开南教授，湘潭大学

Title: 一致无穷d‑Catalan 树在洗牌作用下的不变性

Language: Chinese

Time & Venue: 2026.05.13 10:30-11:30 南楼N613

Abstract: E. Bisi, P. Dyszewski, N. Gantert, S. G. G. Johnston, J. Prochno and D. Schmid [(2026). Random planar trees and the Jacobian conjecture. J. Lond. Math. Soc. (2). 113(1), paper no.e70416.] 提出了如下进攻雅可比猜想（The Jacobian Conjecture）的组合途径和概率途径：（1）若存在自然数$d\geq 3$ 使得对所有的自然数p，在足够大的d‑Catalan 树构成的集合上，常数函数1 属于由所有p‑洗牌类的示性函数生成的线性空间；则雅可比猜想成立。（2）若存在自然数$d\geq 3$ 使得对所有的自然数p，在足够大的d‑Catalan 树上存在一个以一致（均匀）分布为不变分布的p‑洗牌Markov 链；则雅可比猜想成立。注意概率途径是组合途径的强化版本。若此概率途径可行，则一致无穷d‑Catalan 树在某非平凡p‑洗牌作用下应具有不变性。我们确认了一致无穷d‑Catalan 树具有这个有其自身独立价值的性质（从而在一定意义上支持了所论概率途径，但并不表明其真的可行），且得到了d‑Catalan 树洗牌图连通的充要条件。此外，我们提出且讨论几个由雅可比猜想衍生出的概率问题、组合问题。雅可比猜想由德国数学家Ott‑Heinrich Keller 于1939 年提出：$\mathbb{C}^n$ 上任意的其雅可比行列式是非零常数的多项式映射是可逆的且其逆仍是多项式映射。作为数学（特别地，代数几何）中十分杰出的公开问题，雅可比猜想被Steve Smale 在1998 年列为给21 世纪的18 个数学问题之一；它等价于（关于Weyl 代数的）Dixmier 猜想、（关于Poisson 代数的）Poisson 猜想、（关于交换环和交换代数的）单模猜想。