中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所黄飞敏、王益和王勇等最近在Hilbert第六问题研究中取得了新的重要进展。

Boltzmann方程是奥地利科学家Boltzmann于1872年提出，用于描述“稀疏气体分子运动理论”的方程，是统计力学的基本方程；其数学研究有许多本质困难，是国际上偏微分方程的热点研究领域，受到高度关注。从Boltzmann方程到流体力学方程组的极限的研究最早可追溯到Maxwell和Boltzmann，著名的Hilbert第六问题“Mathematical treatment of the axioms of physics”的核心内容之一就是指从数学上严格验证这一极限过程。它受到许多著名数学家，如Fields奖得主P.L. Lions和C. Villani,以及刘太平等人的关注。1912年，Hilbert提出了Boltzmann方程的Hilbert展开方法，从形式上说明了Boltzmann方程的一阶近似是可压缩Euler方程。但是从数学上严格验证这一极限过程具有很大的挑战性。

当可压缩Euler方程具有光滑解时，该问题的研究已经有丰富的成果，如Caflisch，Lachowicz，Nishida，Ukai-Asona等人的工作。然而，可压缩Euler方程是典型的双曲守恒律方程，无论其初值多么光滑，解一般会在有限时间内发生爆破，产生激波，这给分析带来了很大的困难。众所周知，可压缩Euler方程的Riemann解是研究一般奇异解的基石，它通常由3种基本波（激波、稀疏波和接触间断波）复合而成。 因此在Riemann解情形下验证Boltzmann方程到可压缩Euler方程的流体动力学极限是研究一般情形的基础，具有基本的重要性。

当可压缩Euler方程具有单种激波、稀疏波和接触间断波时，该问题的流体

动力学极限分别被S.H.Yu，辛周平等人和黄飞敏、王益和杨彤解决。在单种基本波的情形被解决以后，下一步就是研究更为重要的由不同类型波基本波复合的Riemann解情形，其中最典型的情形是由3种不同的基本波，即激波、稀疏波和接触间断波，组成的复合波。研究Riemann解情形的主要困难在于激波是压缩波、稀疏波是膨胀波而接触间断波是扩散波，针对不同基本波的研究框架互相不兼容。最近黄飞敏、王益、王勇和杨彤成功地解决了这种典型情形，从而在Hilbert第六问题上取得了重要进展。其主要思想是：利用激波的框架来研究所有的基本波，但由此带来的困难是由稀疏波和接触间断波及它们相互作用产生的误差太大，很难控制。对此，他们巧妙地构造了2个双曲波以去掉以上误差，并利用尺度变换和适当的先验估计解决了以上困难。