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2017-11-09 | 编辑：

可压缩Navier-Stokes方程在低马赫极限中的波现象

可压缩Navier-Stokes方程是流体力学中的基本模型，用来描述粘性流体的运动。著名的不可压缩Navier-Stokes方程为可压缩Navier-Stokes方程的低马赫 (Mach number)极限，因此低马赫数极限是非常重要的数学问题。注意到，低马赫数极限是一个奇异极限, 对于一般初值的情形通常会有声波出现，此时要证明低马赫数极限是一个非常困难的数学问题。2001年法国数学家G. Metivier和以色列数学家S. Schochet通过分析声波的收敛，首次证明了一般初值情形下Euler方程的低马赫数极限。对于可压缩Navier-Stokes的情形，2006年法国数学家T. Alazard基于上述声波的分析以及可压缩Navier- Stokes方程的能量估计，证明了可压缩Navier- Stokes方程一般初值情形的低马赫数学极限。 注意到，上面提到的这些工作都要求无穷远处的状态是同一个常数。最近中国科学院数学与系统科学研究院王勇、黄飞敏，武汉理工大学王天怡对于无穷远处状态为不同常数时，证明了一维可压缩Navier-Stokes方程在一般初值时的低马赫数极限。特别地，除了上面提到的声波，我们发现了新的波现象，即扩散波。相关研究结果发表在201791日《数学进展》(Advances in Mathematics., 319 (2017), 348-395)上。

Diffusive wave in the low Mach limit for compressible Navier–Stokes equations

Feimin Huang1 , Tianyi Wang2,3, Yong Wang2

1 Institute of Applied Mathematics, AMSS, CAS, Beijing 100190, China.

2 Department of Mathematics, School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan, China .

3 Gran Sasso Science Institute, viale Francesco Crispi, 7, 67100 L’Aquila, Italy

Corresponding author. E-mail: tian-yi.wang@gssi.infn.it(T.-Y. Wang)

Abstract

The low Mach limit for 1D non-isentropic compressible Navier–Stokes flow, whose density and temperature have different asymptotic states at infinity, is rigorously justified. The problems are considered on both well-prepared and ill-prepared data. For the well-prepared data, the solutions of compressible Navier–Stokes equations are shown to converge to a nonlinear diffusion wave solution globally in time as Mach number goes to zero when the difference between the states at  is suitably small. In particular, the velocity of diffusion wave is only driven by the variation of temperature. It is further shown that the solution of compressible Navier–Stokes system also has the same property when Mach number is small, which has never been observed before. The convergence rates on both Mach number and time are also obtained for the well-prepared data. For the ill-prepared data, the limit relies on the uniform estimates including weighted time derivatives and an extended convergence lemma. And the difference between the states at  can be arbitrary large in this case.

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