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(黄飞敏、王勇)Boltzmann方程和Navier-Stokes方程的新进展
2018-06-13 | 编辑:华罗庚数学中心

      Boltzmann方程描述了稀薄气体的运动规律,是统计力学中的基本方程。Boltzmann方程解的整体适定性问题是偏微分方程中的核心问题。对于一般初值,美国数学家R.J. Diperna与法国数学家P.L. Lions (1994Fields获得者) (Ann. of Math, 1989)通过弱紧性方法首次得到了Boltzmann方程的大初值重整化解的整体存在性。但是该重整化解的唯一性和正则性一直未得到解决,是重要的公开问题。假设解在正则性足够高的Sobolev空间中一致有界,法国数学家L. DesvillettesC. Villani (2010Fields奖获得者) (Invent. Math, 2005)证明了解大时间趋近于相应的平衡态。然而证明满足要求的整体解的存在性本身是非常困难的公开问题。本工作从Boltzmann方程的基本性质入手,发展了一种新的先验估计,对于一类大振幅的初值,证明了Boltzmann方程整体解的存在唯一性及解的正则性。 此外,本工作还证明了解会大时间趋近于相应的平衡态,并得到了解的大时间渐近行为的收敛速率。 

      著名的不可压缩Navier-Stokes方程形式上为可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数(Mach number)极限,因此低马赫数极限是非常重要的数学问题。关于低马赫数极限的研究有很多结果,如2006年法国数学家T. Alazard基于声波分析,证明了可压缩Navier- Stokes方程一般初值情形的低马赫数学极限。 注意到,之前所有的工作均要求无穷远处的状态是同一个常数。本工作对于无穷远处状态为两个不同常数时,证明了一维可压缩Navier-Stokes方程在一般初值情形的低马赫数极限。特别地,除了上面提到的声波,该团队发现了新的波现象,即扩散波。该波与著名的热蠕流动紧密相关。 

  与本成果相关的论文: 

  1. Feimin Huang, Tianyi Wang, Yong Wang, Diffusive wave in the low Mach limit for compressible Navier-Stokes equations. Advances in Mathematics. 319 (2017), 348–395. 

  2. Renjun Duan, Feimin Huang, Yong Wang, Tong Yang,  Global well-posedness of the  Boltzmann equation with large amplitude initial data., Arch. Rational Mech. Anal., 225 (2017), no. 1, 375–424. 

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