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(孙斌勇)典型群的表示论与Rankin-Selberg L-函数非零假设的证明
2018-06-12 | 编辑:华罗庚数学中心

  局部theta对应理论是对经典不变量理论的极大发展,由耶鲁大学的Roger Howe1970 年代开创。这个理论把一个典型群的表示转换成另一个典型群的表示,在表示论和自守形式理论中有重要应用。这个理论的历史上有两个基本猜想: Howe 对偶猜想和Kudla-Rallis守恒律猜想。 

  我们证明了四元数群的情况的Howe对偶猜想,与以前的成果结合,最终完全解决了Howe对偶猜想。此前,孙斌勇还与合作者证明了Kudla-Rallis守恒律猜想。从而,完全解决了局部theta对应理论的两个基本猜想。 

  在较早一篇论文中,孙斌勇和励建书、田野合作证明了重数保守猜想,这是Howe对偶猜想两个论断中的一个。最近孙斌勇和新加坡国立大学的颜维德合作对最后一种情况(四元数群的情况)证明了Howe对偶猜想,这样Howe对偶猜想被最终完全解决。在这个证明中,项目成员证明的守恒律猜想起到了关键作用。 

  守恒律猜想被J. Amer. Math. Soc.的审稿人称为“theta对应理论中最重要的猜想之一,重数保守猜想被美国数学评论称为局部theta对应理论中的基本定理之一 

  不可约酉表示是非交换调和分析的基石。在所有不可约表示中,对应于幂零轨道的幂单表示是最基本也是最神秘的。本成果利用theta对应给出了典型李群幂单表示的构造和分类。 

  L-函数特殊值的算术性质是Langlands纲领,特别是算术代数几何的核心问题之一。高阶Rankin-Selberg L-函数特殊值的算术性质研究中有一个被称为非零假设的致命障碍。这个假设最早由以色列科学院、美国科学院院士D.Kazhdan和美国科学院院士B.Mazur在上世纪70年代提出,它断言作为分母出现在L-函数特殊值表达式中的一个局部zeta积分非零。近年来,许多关于L-函数特殊值的重要结果是在非零假设成立的基础上得到的。项目成员与合作者证明的典型群重数一定理完成了这个假设的证明。《美国数学会杂志》审稿人指出非零假设是这个方向所有工作中的一个根本难点。这项工作被国际同行称为孙的突破 哥伦比亚大学教授M. Harris等人在论文中称这个问题的解决使整个关于L-函数特殊值研究的领域更加引人瞩目,他还在2014年国际数学家大会45分钟报告中指出由于孙斌勇对这个猜想的证明,人们可以期待(L-函数特殊值)这个问题在未来几年的快速发展。 

  与本成果相关的论文: 

   1. B. Sun, The nonvanishing hypothesis at infinity for Rankin-Selberg convolutions, J. Amer. Math. Soc. 30 (2017), 1-25.  

  2. W.T. Gan and B. Sun, The Howe duality conjecture: quaternionic case, to appear in Representation Theory, Number Theory, and Invariant Theory: In Honor of Roger Howe on the Occasion of His 70th Birthday, James Cogdell, Ju-Lee Kim, Cheng-Bo Zhu (eds), Progress in Mathematics, Springer 2017. 

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