高频Helmholtz方程的有限元离散系统是大规模、强不定、高度病态的， 从而它的求解常常需花费很大的代价。尽管已有许多文章从不同的角度探讨如何构造求解高频Helmholtz方程的区域分解快速算法， 但是现有算法还存在比较大的局限性。如何对这类方程构造高效的区域分解方法是计算数学的一个前沿研究课题。 近二十年求解Helmholtz方程的加权重叠区域分解方法(加权Schwarz方法或加权Schwarz预条件子)受到了学界的广泛关注。数值结果表明基于合适“谱粗空间”的两层加权重叠区域分解方法比经典的重叠区域分解方法更有效，但是对这种方法做理论分析遇到了本质的困难。 我们最近针对Helmholtz方程设计了一类新颖的“谱粗空间”，这类粗空间包含相对较少的基函数个数。利用该粗空间构造了一类两层杂交加权Schwarz预条件子，并证明了在适当的假定下这类预条件子具有对频率、子区域尺寸和网格尺寸一致的收敛性。这是针对求解高频Helmholtz方程的两层加权重叠区域分解方法得到的第一个严格的理论结果，我们的文章已经受到了国际同行的高度关注、较快地发表在本领域顶尖刊物上。

Publication:

　　SIAM Journal of Numerical Analysis, 2025，Vol. 63, No. 2, pp:,716--742

Author:  

    Qiya Hu (and Ziyi Li)

　　LSEC, Institute of Computational Mathematics, Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, People’s Republic of China

　　Email: hqy@lsec.cc.ac.cn