传统动力系统数值模拟（如流体动力学、分子动力学、气候建模）通常采用顺序时间步进法，计算耗时随模拟时长线性增长，成为大规模、长时间尺度仿真的主要瓶颈。时间并行（Parallel-in-Time, 简称PinT）计算技术为突破此限制提供了新思路。其核心思想在于打破时间维度的固有顺序性，将整个模拟时间区间分解为多个子区间，并利用并行计算资源同时求解这些子区间上的问题（见图1)。

图1: 基于时间区间分解的并行算法设计思路

  近年来，随着百亿亿次计算时代的到来，单纯依靠空间并行已接近扩展性极限，时间并行计算重新成为国际计算数学和高性能计算领域的研究热点(PinT官网http://parallel-in-time.org)。美国能源部、欧盟 Horizon 2020 等重大科研计划均将 PinT算法列为下一代科学计算的关键技术之一。

  动力系统的一个显著特征是解的演化必须满足因果律，因此从时间方向看系统的求解必然是顺序进行的，这是开展时间并行计算面临的本质困难。过去二十年里，该领域出现了许多用于 PinT 计算的算法。根据这些算法的原理和使用方式，人们认识到对于抛物型问题非常成功的PinT 算法在应用于双曲型问题时却面临困难。因此，本综述论文重点关注了这一方面的研究进展。论文首先总结了抛物型问题和双曲型问题对于时间并行化的根本区别；然后详细介绍了两组重要 PinT 算法。第一组包含四种针对双曲型问题的PinT算法：Schwarz 波形松弛及其相关算法；并行亏损矫正算法；并行指数积分算法ParaExp；以及 ParaDiag算法。 虽然第一组中的方法对抛物型问题也很有效，论文中还介绍了专门为抛物型问题设计的第二组PinT方法：Parareal，PFASST，时间规约多重网格算法（MGRiT）以及时空多重网格算法（STMG)。该论文对这些算法的机理进行了全面总结，给对其收敛性给出了细致入微的解释。

Acta Numerica是数值分析与科学计算领域的顶级综述期刊，是数学类影响因子最高的期刊（2024年影响因子为11.3）。该期刊于1992年创刊，每年邀请领域内著名专家撰写综述论文，每年只出版一期，每期发表6-8篇文章。

Publication:

Acta Numerica (2025), pp. 385–489 

doi:10.1017/S0962492924000072

Author:

Martin J. Gander 

Department of Mathematics, University of Geneva, CP64, 1211 Geneva 4, Switzerland 

E-mail: martin.gander@unige.ch 

Shu-Lin Wu∗ 

School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China 

E-mail: wushulin84@hotmail.com 

Tao Zhou 

Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, China 

E-mail: tzhou@lsec.cc.ac.cn